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Wednesday, June 6, 2018
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✺✳✹✳✷ ❆♣♣r♦❛❝❤ t♦ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s Pr❡❞✐❝t✐♦♥s✬ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ❡❛❝❤ ❢♦r❡❝❛st❡r ✈❛r✐❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ q✉❡s✲ t✐♦♥✿ s♦♠❡ ✉s❡rs ♣r♦✈✐❞❡ ❣r❡❛t ❛♥s✇❡rs ❢♦r q✉❡st✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ ♠❛❝r♦❡❝♦✲ ♥♦♠✐❝s ❛♥❞ ♣♦❧✐t✐❝s✱ ✇❤✐❧❡ ♠❛❦✐♥❣ ♠✐st❛❦❡s ✐♥ ♣r✐❝❡✲r❡❧❛t❡❞ q✉❡st✐♦♥s❀ ♦t❤❡rs✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❝❛♥ ❛❝❝✉r❛t❡❧② ❢♦r❡❝❛st ♣r✐❝❡ ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛ss❡t ❢♦r ♥❡①t ❞❛②✴✇❡❡❦✴♠♦♥t❤✱ ②❡t ♠❛❦❡ ♠✐st❛❦❡s ✐♥ q✉❡st✐♦♥s ♦❢ ♦t❤❡r t②♣❡s✳ ❇② r❡s❡❛r❝❤✲ ✐♥❣ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ ❡❛❝❤ ✉s❡r ✇❡ ❝r❡❛t❡❞ s❡❧❢✲❧❡❛r♥✐♥❣ s②st❡♠ ❢♦r ❛ss❡ss♠❡♥t✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❢♦r❡❝❛st❡r ❛♥s✇❡rs ❢♦r ♣r✐❝❡✲r❡❧❛t❡❞ q✉❡st✐♦♥s ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ✻ ❞✐✛❡r❡♥t ❢♦r❡❝❛st❡r ♣r♦✜❧❡s✳ ❲❤❡r❡✐♥✱ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❢♦r❡❝❛st❡r ♠❛② ✈❛r②✿ t❤❡② ♣r❡❞✐❝t ♦♥❧② tr❡♥❞s ♦♥ ✇❡❡❦❞❛②s ✭♥♦ t✐♠❡ t♦ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❝❤❛rts✮✱ ❜✉t ♠❛❦❡ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❢♦r❡❝❛sts ♦♥ ✇❡❡❦❡♥❞s✳ ❇② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ✇❡ ❝❛♥ s✐❣✲ ♥✐✜❝❛♥t❧② ✐♠♣r♦✈❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❛❝❝✉r❛❝②✳ ■♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧s ✇❡ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❛❧❧ ❜❡❤❛✈✐♦r❛❧ ♣❛tt❡r♥s ♦❢ t❤❡ ✉s❡rs✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉♥❞ t❤❛t t❤❡r❡ ✇❛s ❛ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❢♦r❡❝❛st❡rs ✇❤♦ ❛r❡ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❣♦♦❞ ❛t ♣r❡❞✐❝t✐♥❣ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❜✐❢✉r❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✱ ✇❤❡♥ t❤❡ tr❡♥❞ ❝❤❛♥❣❡s ❞r❛♠❛t✲ ✐❝❛❧❧② ♦r ❡①♣❡r✐❡♥❝❡s ❛ s❤❛r♣ ❥✉♠♣✴❢❛❧❧✳ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ❛ s❡♣❛r❛t❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤✐s ❝❧✉st❡r ♦❢ ❢♦r❡❝❛st❡rs✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣r❡❞✐❝t s✉❝❤ ❜✐❢✉r❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ❛♣♣❧② ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♠♦❞❡❧s t♦ t❤❡♠✳ ❖✉r ♠♦❞❡❧s ✉s❡ ❞✐✛❡r❡♥t ▼▲✴❉▲ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱ s✉❝❤ ❛s✿ ✲ ❆ ❇❛②❡s✐❛♥ ❛♣♣r♦❛❝❤❀ ✲ ❇❛②❡s✐❛♥ ❇❡❧✐❡❢ ◆❡t✇♦r❦s❀ ✲ ❍▼▼❀ ✲ ❯s✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s ♠♦❞❡❧s ❛s s❡♣❛r❛t❡ ♣r❡❞✐❝t♦rs ✇❤✐❝❤ s❡r✈❡ t♦ ❜✉✐❧❞ ✉♣ t❤❡ ❜♦♦st✐♥❣❀ ✲ ❇✉✐❧❞✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧s❀ ✲ ❯s✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦❢ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❢♦r s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ♦❢ ❢♦r❡❝❛st❡rs✳ ❲❡ ❝♦♠♣♦s❡ ❝❧✉st❡rs ♦❢ s✉♣❡r❢♦r❡❝❛st❡rs ❛♥❞ ❡♥s❡♠❜❧❡s ♦❢ ❝❧✉st❡rs✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ r✉♥ ✈❛r✐♦✉s ❛❧❣♦r✐t❤♠s❀ ✲ ❯s✐♥❣ ❤✐st♦r✐❝❛❧ ❞❛t❛ ♦♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥str✉♠❡♥ts ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ ✉s❡r s✐❣✲ ♥❛❧s✳ ▼♦❞❡❧s ❜❛s❡❞ ♦♥ t✐♠❡ s❡r✐❡s ❛♥❛❧②s✐s ❛r❡ ❛❧s♦ ✉s❡❞✳ ✺✳✺ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ✺✳✺✳✶ ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❲❡ ❞❡✜♥❡✿ Ω ❛s ❛ ❢❡❛t✉r❡ ✈❡❝t♦r ✇❤✐❝❤ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s ❛ ✉s❡r❀ Ui (Ω) ❛s ❛♥ ith s②st❡♠ ✉s❡r ✭❢♦r❡❝❛st❡r✮❀ U = {U1 . . . Un } ❛s ❛ ✉s❡r ✈❡❝t♦r❀ E = {E1 . . . Em } ❛s ❛ ❡✈❡♥t ✈❡❝t♦r❀ E real = {E1real . . . Em real } ❛s r❡❛❧ ✈❛❧✉❡s ✭❝♦rr❡❝t ❛♥s✇❡rs✮ ✈❡❝t♦r ❢♦r ❡✈❡♥ts E ❀ Vl ✖ ❛s ❛♥ lth t✐❝❦❡r ♦r E ✲❜❡❧♦♥❣✐♥❣ ❡✈❡♥t ✈♦t✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡♥✱ ❛ ♣✉r❡ s✐❣♥❛❧ ❢♦r ❡✈❡♥t l✱ ♥♦t ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ P w w P Vl (Ui El ) Vl ( U i El ) i=1 i=1 Sl = = , w w ✇❤❡r❡ w ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢♦r❡❝❛sts✳ ✶✼

✺✳✺✳✷ ❙✉♣❡r❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ❚❤❡ ❣r♦✉♣ Ul = {Ul1 . . . Ulm } ✐s ❝❛❧❧❡❞ s✉♣❡r❢♦r❡❝❛st❡rs ❢♦r ❡✈❡♥ts Ek = {Ek1 . . . Ekn }✱ ✐❢ Ul =U |Vk (U EkT ) − Ekreal |. ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ǫsk = max |V (Ul EkT ) − Ekreal | ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ❡rr♦r ❢♦r t❤❡ ❣r♦✉♣ Ul ❛t ❡✈❡♥ts Ek ✳ ✺✳✺✳✸ ❲✐s❞♦♠ ♦❢ t❤❡ ❈r♦✇❞ ✭❲❖❈✮ ❲❡ ❞❡✜♥❡✿ W ❛s t❤❡ ✉s❡r ✇❡✐❣❤ts ♠❛tr✐①❀ Wl ❛s t❤❡ ✉s❡r ✇❡✐❣❤t ✈❡❝t♦r ❢♦r t❤❡ ❡✈❡♥t l❀ WlT U ❛s t❤❡ ✇❡✐❣❤❡❞ ✉s❡rs ✈❡❝t♦r ❢♦r t❤❡ ❡✈❡♥t l✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❲❖❈ ❛❧❣♦r✐t❤♠ s✐❣♥❛❧ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ Sl = Vl (WlT U ElT ). ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ǫw T T real k = max[Vl (Wl U El ) − El | ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ❡rr♦r ♦❢ t❤❡ ❲❖❈ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛t ❡✈❡♥ts El ✳ ✺✳✺✳✹ ▼♦❞❡❧ ❇♦♦st✐♥❣ ❲❡ ❞❡✜♥❡✿ µ1 = {µ11 . . . µ1n } ❛s t❤❡❙✉♣❡r❢♦r❝❛st✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ✭❢♦r❡❝❛sts✮ ✈❡❝t♦r❀ µ2 = {µ21 . . . µ2n } ❛s t❤❡ ❲❖❈ ♠♦❞❡❧s ✭❢♦r❡❝❛sts✮ ✈❡❝t♦r✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞❡❧s ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠♦❞❡❧ ❜♦♦st✐♥❣ ✿ X X L= αi µ1i + βi µ2i . ■♥ ♠❛tr✐① ❢♦r♠✿ L = AM, ✇❤❡r❡ A = αi βj ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✭✇❡✐❣❤t✮ ♠❛tr✐①✱ M = µ1i µ2j ✐s t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♠❛tr✐① µ1 ❛♥❞ µ2 ✳ ❲❡ s❤❛❧❧ s❡❧❡❝t ❛ ♠❛tr✐① Ȧ✱ t❤❛t Ȧ =A |AM − E real |. ❚❤❡ ❧✐♠✐t ❡rr♦r ♦❢ ♠♦❞❡❧ ❜♦♦st✐♥❣ ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ǫb = max |ȦM − E real |. ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✿ ǫb <= min(ǫs , ǫw ). ✶✽

✺✳✺✳✺ ❙✉st❛✐♥❛❜❧❡ ▼♦❞❡❧s ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞❡❧s µ̂(ǫ, τ ) = {µ̂1 . . . µ̂n |µ̂i ∈ µ1 ∪ µ2 }✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✉st❛✐♥❛❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❧❛✐❞✿ d(E[Etpredict − Etreal ]) ✶✮ ∀t ∈ Tlτ = 0✱ ✐✳❡✳ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ ❢♦r❡❝❛sts ✐s ❛ dt ❝♦♥st❛♥t❀ ✷✮ Var[Etpredict − Etreal ] < ǫ✱ ✐✳❡✳ ❡rr♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❡①❝❡❡❞ ǫ; ✸✮ Var[Etpredict − Etreal ] < E[Etpredict − Etreal ]✱ ✐✳❡✳ ❢♦r❡❝❛st ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❡①❝❡❡❞ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ E predict ✐s t❤❡ ❢♦r❡❝❛st❡❞ ✈❛❧✉❡ ✭❢♦r ❛♥② ❛❧❣♦r✐t❤♠✮✱ Tlτ = {tk1 . . . tkτ } ✐s t❤❡ t✐♠❡ s❡r✐❡s ♦❢ t❤❡ t✐❝❦❡r l✳ ❙✉❝❤ ❛ ❝❧❛ss ✐s ❝❛❧❧❡❞ s✉st❛✐♥❛❜❧❡ ✉♥❞❡r t❤❡ t✐♠✐♥❣ ❡rr♦r✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t µ̂(ǫ, τ ) ✐s t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝❧❛ss s✉st❛✐♥❛❜❧❡ ❛❣❛✐♥st t❤❡ t✐♠✐♥❣ ❡rr♦r✱ Tlη ✐s t❤❡ t✐♠❡ s❡r✐❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ Tlη > Tlτ ❚❤❡♥✿ ∃ χ : S → S ✐s t❤❡ ❛✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t ❛ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤✿ lim |Ŝl − Elreal | = 0✱ ãäå Ŝl = χ(Sl )✱ t ∈ Tlη ✳ t→∞ Pr♦♦❢✳▲❡t ✉s ♣r♦✈❡ t❤❛t ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t ❚❤❡♦r❡♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ♠❡t✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❛✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ χ✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ |Ŝl − Elreal | ց✳ ❲✐t❤♦✉t ♣r❡❥✉❞✐❝❡ t♦ ❝♦♠♠✉♥❛❧✐t②✱ ❧❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ❢♦r❡❝❛sts ❛r❡ s❤✐❢t❡❞ ✉♣✇❛r❞✱ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ r❡❛❧ ✈❛❧✉❡ ❜② γ ≤ ǫ ✭✐♥❢❡rr❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✉st❛✐♥❛❜❧❡ ❝❧❛ss✮✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞♦✇♥✇❛r❞ s❤✐❢t✐♥❣ ✐s ♣r♦✈❡♥ ❛♥❛❧♦❣✐❝❛❧❧②✳ ✶✮ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❇❛s✐s✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t γ < ǫ ✐s t❤❡ ❢♦r❡❝❛st ❡rr♦r ❢♦r t❤❡ ♠♦♠❡♥t t1 = Tlτ ✱ t❤❡♥ ❧❡t ✉s s❡t t❤❡ s❤✐❢t χ(Sl ) = Sl − γ ❛s t❤❡ tr❛♥s❢♦r✲ ♠❛t✐♦♥✳ ❲❡ ♠✐❣❤t ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❡rr♦r ❢♦r t❤✐s ❝❛s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ γ̂ = 0✳ ❲❡ s❤❛❧❧ ❛❞❞ t❤❡ ❢♦r❡❝❛st ✇✐t❤ t❤❡ ❡rr♦r α < ǫ t♦ t❤❡ ♠♦♠❡♥t t2 = Tlη ✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ t❤❡♥ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t t❤❡ ❡rr♦r ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢♦r❡❝❛st ❜❡❝❛♠❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ α̂ = α − γ ✳ ❲❡ t❤❡♥ s❡❡ t❤❛t ✇✐t❤♦✉t t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❡rr♦r ♦❢ t✇♦ ❢♦r❡✲ ❝❛sts ✇✐❧❧ ❜❡ γ + α✱ ❛♥❞ α − γ ✇✐t❤ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■t ✐s ♦❜✈✐♦✉s t❤❛t α − γ ≤ γ + α✱ ❛s γ ≥ 0✳ ✷✮ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❙t❡♣✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t γτ = {γ1 . . . γτ |γi < ǫ} ❞❡♥♦t❡s ❡rr♦rs P ♦❢ ❢♦r❡❝❛sts ✐♥ t❤❡ t✐♠❡ s❡r✐❡s Tlτ = {tl1 . . . tlτ }✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ γ = γi i ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ t♦t❛❧ ❡rr♦r ✐♥ t❤❡ s❡r✐❡s Tlτ ✳ ❲❡ s❤❛❧❧ t❛❦❡ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ χ(Sl ) = Sl − E[Etpredict − Etreal ]✱ ✇❤❡r❡ t ∈ Tlτ ✳ ▲❡t ✉s t❤❡♥ ❛❞❞ t❤❡ ♥❡①t ❢♦r❡❝❛st ✇✐t❤ t❤❡ ❡rr♦r α < ǫ t♦ t❤❡ ♠♦♠❡♥t tl(tau+1) = Tlη ✳ ◆♦✇ ✇❡ ♠✉st ♣r♦✈❡ t❤❛t P X X γi i γi + α ≥ ( γi + α) − 2 , i i τ ♦r P γi i 2 ≥ 0. τ ✶✾

P ❆s τ 6= 0✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s✉st❛✐♥❛❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ❢♦r γi ≥ 0✱ t❤❡♥ t❤❡ i ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② st❛t❡♠❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✳ ▲❡t ✉s ✉s❡ t❤❡ ❲❡✐❡rstr❛ss ❚❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ ❧✐♠✐t❡❞ ♠♦♥♦t♦♥✐❝ s❡q✉❡♥❝❡✿ ❆♥② ♠♦♥♦t♦♥✐❝❛❧❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡r✐❡s✱ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ✭♦r ♠♦♥♦t♦♥✐❝❛❧❧② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡r✐❡s✱ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇✮✱ ❤❛s t❤❡ ❧✐♠✐t ❡q✉❛❧ t♦ ✐ts ❧❡❛st ✉♣♣❡r ✭❧♦✇❡r✮ ❜♦✉♥❞✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t lim |Ŝl − Elreal | = 0✳  t→∞ ❆❧❧ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ✉s❡❞ ✐♥ ❈✐♥❞✐❝❛t♦r ❤②❜r✐❞ ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥❝❡ t❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❛❜str❛❝t❧② s❡t ♦✉t ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❣✐✈❡♥ ❛❜♦✈❡✳ ❖♥ ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ t❤❡♦r❡♠✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠♦❞❡❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❡rr♦r ❡①♣❡❝✲ t❛t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t♦ ③❡r♦ ✐♥ t❤❡ t✐♠❡ s❡r✐❡s✳ ✺✳✻ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣✐❡s ✭❧✐❜r❛r✐❡s✱ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✮ ✲ ▲❛♥❣✉❛❣❡s✿ P②t❤♦♥✱ ❙❝❛❧❛✱ ❘❀ ✲ ▲✐❜r❛r✐❡s✿ ◆✉♠P②✱ ❙❝✐P②✱ P❛♥❞❛s✱ s❝✐❦✐t✲❧❡❛r♥✱ ♠❛t♣❧♦t❧✐❜✱ s❡❛❜♦r♥✱ ❦❡r❛s✱ ❚❤❡❛♥♦✱ ①❣❜♦♦st❀ ✲ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✿ r❡❣r❡ss✐♦♥s✱ ❝❧✉st❡r✐s❛t✐♦♥s✱ ❆❘■▼❆✱ ❜♦♦st✐♥❣✱ ❞❡❝✐s✐♦♥ tr❡❡s✱ r❛♥❞♦♠ ❢♦r❡st✱ ❞❡❡♣ ❧❡❛r♥✐♥❣❀ ✲ ■♥❢r❛str✉❝t✉r❡✿❉❥❛♥❣♦✴❋❧❛s❦✴❚♦r♥❛❞♦✱ P♦st❣r❡s✱ ▼♦♥❣♦❉❇✱ ❘❡✲❞✐s✱ ▼❙ ❆③✉r❡✱ ❍❛❞♦♦♣✱ ❙♣❛r❦✳ ✺✳✼ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣✐❝❛❧ r♦❛❞♠❛♣ ■♥ t❤❡ ❢✉t✉r❡✱ ❛s ♦✉r t❡❝❤♥♦❧♦❣② ❞❡✈❡❧♦♣s ❛♥❞ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❞❛t❛ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ✇❡ ♣❧❛♥ t♦✿ ✲ ■♠♣❧❡♠❡♥t ♥❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❛♥❞ ❞❡❡♣ ❧❡❛r♥✐♥❣❀ ✲ ■♠♣❧❡♠❡♥t ❛ tr❛❞✐♥❣ r♦❜♦t ❜❛s❡❞ ♦♥ r❡✐♥❢♦r❝❡♠❡♥t ❧❡❛r♥✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ❛♥❛❧②s❡ t❤❡ ♠❛r❦❡t ❛♥❞ ❧❡❛r♥ ❢r♦♠ ✐ts ♦✇♥ ♠✐st❛❦❡s❀ ✲ ❉❡✈❡❧♦♣ ♠♦❞❡r♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s t♦ ❜✉✐❧❞ ♣r❡❞✐❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦r t❤❡ ♠❛r❦❡t❀ ✲ ❈♦❧❧❛❜♦r❛t❡ ❛♥❞ ❝♦♦♣❡r❛t❡ ✇✐t❤ ❞❛t❛ s❝✐❡♥t✐sts ❢r♦♠ ❧❡❛❞✐♥❣ ✉♥✐✈❡rs✐t✐❡s ✭❙t❛♥❢♦r❞✱ ❇❡r❦❡❧❡②✱ Pr✐♥❝❡t♦♥✱ ❙P❙❯✮ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛♥✐❡s ✭●♦♦❣❧❡ ❘❡s❡❛r❝❤✱ ■❇▼✮ ✐♥ ✜♥❛♥❝❡✱ ❞❛t❛ s❝✐❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ▼▲✴❉▲❀ ✲ ❈r❡❛t❡ ❛ ♣❧❛t❢♦r♠ ❢♦r ♠❛♥❛❣✐♥❣ tr❛❞✐♥❣ r♦❜♦ts❀ ✲ ❉❡✈❡❧♦♣ t❤❡ ♠❛r❦❡t✷✈❡❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭❛ ✈❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❛ss❡ts✬ ❞❛t❛✮✳ ❲❡ ❜❡❧✐❡✈❡ t❤❛t t❤❡ ♠❡r❣✐♥❣ ♦❢ s✉❝❤ ❛r❡❛s ❛s ❝♦♥tr♦❧ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ❣❛♠❡ t❤❡✲ ♦r② ❛♥❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✱ ♠❛❝❤✐♥❡ ❧❡❛r♥✐♥❣✱ ❛♥❞ ❜❡❤❛✈✐♦✉r❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ✐s ❛ ✈❡r② ♣r♦♠✐s✐♥❣ ✜❡❧❞✳ ✻ ❆♥❛❧②t✐❝❛❧ ♣r♦❞✉❝ts✿ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ❖✈❡r ✽✱✵✵✵ ❢♦r❡❝❛st❡rs ❤❛✈❡ ♠❛❞❡ ✷✸✵✱✵✵✵ ❢♦r❡❝❛sts s✐♥❝❡ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♣❧❛t❢♦r♠ ❧❛✉♥❝❤ ✐♥ ❉❡❝❡♠❜❡r ✷✵✶✺✳ ■♥ ❏✉❧② ✷✵✶✻ ✭♦♥❝❡ ❛♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ❞❛t❛ s❡t ❤❛❞ ❜❡❡♥ ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡❞✮✱ t❤❡ ❝♦♠♣❛♥② st❛rt❡❞ tr❛❞✐♥❣✱ ❢♦r✇❛r❞ t❡st✐♥❣ ❛♥❞ ❜❛❝❦t❡st✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s tr❛❞✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❢♦❝✉s ❛r❡❛s ✐♥❝❧✉❞❡❞ t✇♦ t②♣❡s ♦❢ q✉❡st✐♦♥s✿ ✷✵

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